Vznik kvantové mechaniky

Bohrův model atomu (1913) vysvětloval rozložení spektrálních čar vodíku. Předpokládal že moment hybnosti elektronu je celým násobkem Planckovy konstanty. Einstein pak vysvětlil podobným způsobem fotoelektrický jev, za což mu byla udělena Nobelova cena za rok 1921.

Na počátku dvacátých let kvantová mechanika pomáhala vysvětlit pouze mikroskopické jevy. De Broglie tedy navrhl uvažovat u veškeré látky dvojí podstatu, vlnovou a částicovou. Tím byly vysvětleny interferenční jevy při rozptylu částic (viz Youngův experiment pro různé typy částic).

Roku 1926 E. Schrödinger zveřejnil vlnovou rovnici .

W. Heisenberg zobecnil Hamiltonovy rovnice, čímž ukázal, že klasická mechanika je limitním případem mechaniky kvantové.

Vývoj kvantové teorie pole

Kvantová mechanika narážela na dva zásadní problémy. Je totiž:

Kvantová teorie pole oba tyto problémy řeší. Od začátku je budována pro systémy s nekonečným počtem stupňů volnosti, kde není nutné, aby v daném stavu byl počet částic pevně daný. Na druhý problém v teorii pole také nenarážíme, poněvadž v ní prostorová souřadnice vystupuje spolu s časem jako parametr, nikoliv jako dynamická proměnná, jak je tomu v kvantové mechanice. Tím umožňuje přirozeně zahrnout speciální teorii relativity a vyhnout se přitom problému s interpretací lokalizovaných stavů.

Korektním zahrnutím teorie relativity je dosaženo přesnějšího popisu procesů, kdy kinetická energie některých z částic je srovnatelná s jejich klidovou energií či vyšší. Ve třicátých letech 20. století se jednalo především o β-rozpad neutronu (kvůli uvolněnému lehkému neutrinu) a pochopitelně všech procesů s fotony. Relativistická kvantová teorie pole se proto rozvinula velmi záhy v podobě Fermiho teorie β-rozpadu (1934) a později kvantové elektrodynamiky (konec 40.let), k jejímž hlavním autorům patří P. Dirac, F. Dyson, J. Schwinger, R. Feynman a Š. Tomonaga.

Zásadním problémem v poruchové formulaci teorie pole byl výskyt nekonečných koeficientů ve vyšších korekcích k základní aproximaci. Řešením se ukázala být procedura zvaná renormalizace, která odstraňuje nekonečné hodnoty pomocí předefinování fyzikálních konstant vystupujících v rovnicích, jako jsou náboje či hmotnosti částic. Ačkoliv matematická konzistence této procedury není zcela uspokojivá, vede k velmi dobré shodě s experimentem a stala se nedílnou součástí současné kvantové teorie. Mnoho fyziků, mj. Dirac a Feynman, vyjadřovalo ovšem nespokojenost s takovým stavem a dodnes renormalizace zůstává jedním z „nejdivnějších“ míst současné fyziky.

Renormalizace je (v užším smyslu) aplikovatelná jen na určitou třídu teorií, zvaných renormalizovatelné. Renormalizovatelnost je užitečným kritériem pro rozhodování, zda určitá teorie pole je přípustná pro popis v přírodě se vyskytujících procesů. Nerenormalizovatelnost staré Fermiho teorie vedla k předpovědi objevu existence intermediálních bosonů W a Z a posléze ke sjednocení elektrodynamiky a teorie slabých interakcí do jednotné teorie elektroslabých interakcí.

Vývoj teorie silných interakcí (jež jsou zodpovědné za síly držící dohromady hadrony a atomová jádra) byl složitější, především kvůli nepřebernému množství nově objevených hadronů v padesátých a šedesátých letech. Určitou dobu dokonce převažoval mezi fyziky názor, že kvantová teorie pole není v zásadě nutná pro popis částicových experimentů a předpovědi byly získávány vyšetřováním analytických vlastností S-matice. Teorie pole zažila návrat koncem šedesátých let po objevu kvarkového modelu a asymptotické volnosti, což vedlo k ustavení kvantové chromodynamiky jako hlavní teorie silných interakcí. Za objev asymtotické volnosti byla udělena F.Wilczekovi, D.Grossovi a H.D.Politzerovi nobelova cena za rok 2004.

Formulace

Rozdíly mezi klasickou a kvantovou fyzikou

Klasická fyzika popisuje stav systému v daném čase pomocí sady hodnot vybraných měřitelných veličin (ty jsou v kvantové fyzice obvykle nazývány pozorovatelné). Například stav bodové částice (hmotného bodu) je úplně určen, zadáme-li jeho polohový vektor a vektor hybnosti; pak říkáme, že poloha a hybnost jsou úplným systémem pozorovatelných (ÚSP). (Alternativně lze udat místo hybnosti například směr pohybu a energii; výběr ÚSP použitých k popisu je víceméně libovolný a obvykle se volí sada pozorovatelných co nejlépe se hodící k výpočtům. Ostatní pozorovatelné jsou pak funkcí těch z ÚSP - energie je u volného hmotného bodu kvadrátem hybnosti a podobně.) Řešením pohybová rovnice pak principiálně můžeme spočíst, jaký bude stav systému v jiných časech.

Pojem stavu systému v kvantové teorii je složitější. Klíčovým rozdílem oproti klasické fyzice je možnost, že vybraná pozorovatelná v daném stavu nemá nějakou konkrétní hodnotu, ale při měření této veličiny můžeme dostat různé výsledky s různou pravděpodobností. Pravděpodobnost naměření hodnoty x veličiny X můžeme označit P(x), místo jedné hodnoty polohy x₀ určující pozici částice tak musíme k popisu systému udat pravděpodobnosti nalezení částice v každém bodě prostoru. (Protože prostor je spojitý, místo pravděpodobnosti je třeba udávat hustotu pravděpodobnosti, toto rozlišení budeme dále vynechávat, protože není pro pochopení podstaty kvantové teorie zásadní). Mohou ovšem existovat i speciální stavy, kde měřením vybrané pozorovatelné (v našem případě polohy) můžeme získat jen jedinou hodnotu x₀, tj. P(x) = 0 pro . Takovým stavům se říká stavy vlastní, nebo stavy s ostrou hodnotou pozorovatelné. V kvantové teorii jsou ale tyto stavy jen malou podmnožinou všech možných stavů systému.

Vlnová funkce

Ukazuje se, že pro popis interference nestačí udávat pravděpodobnostní funkci P(x), ale komplexní amplitudu pravděpodobnosti ψ(x), přičemž P(x) = | ψ(x) | ². Amplituda ψ se pak nazývá vlnovou funkcí. Analogicky by bylo samozřejmě možné udávat pravděpodobnost a fázový faktor, parametrizace pomocí komplexních čísel je ale výrazně elegantnější a jednodušší.

Máme-li v ÚSP pozorovatelných více (označme A,B,C,...), musíme znát pravděpodobnost naměření pro každou kombinaci hodnot P(a,b,c,...), a tudíž také popisujeme systém pomocí vlnové funkce více proměnných ψ(a,b,c,...).

V rámci kvantové teorie je změna původního stavu procesem měření realizována konceptem kolapsu vlnové funkce. Měříme-li pozorovatelnou X a obdržíme výsledek x₀, systém „zkolabuje“ do stavu s ostrou hodnotou X = x₀, tj. jeho vlnová funkce se náhle změní - nikoliv vývojem daným Schrödingerovou rovnicí, ale procesem měření jako takovým. Následující bezprostředně následující měření téže veličiny pak dá týž výsledek.

Kompatibilita pozorovatelných

Provedeme-li měření téže veličiny na daném systému dvakrát bezprostředně po sobě, získáme stejnou hodnotu dané veličiny. To ovšem neplatí pro měření na jiných pozorovatelných - pokud měříme veličinu X s výsledkem x₀, poté veličinu Y s výsledkem y₀, můžeme následujícím měřením X získat x₁ různé od x₀. Tuto skutečnost přirozeně interpretujeme jako nemožnost současného měření pozorovatelných X a Y. Pozorovatelné X a Y se pak nazývají nekompatibilní. ÚSP pak zřejmě musí být tvořen jen kompatibilními pozorovatelnými.

Praktickým příkladem nekompatibilních pozorovatelných je hybnost a souřadnice. Jejich nekompatibilita je v jistém smyslu dokonce maximální, neexistuje totiž žádný stav, který by měl ostrou hodnotu obou těchto pozorovatelných a dokonce v každém stavu s ostrou hodnotou souřadnice (resp. hybnosti) může být hybnost (resp. souřadnice) libovolná, a to s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti. To ovšem znamená, že na rozdíl od klasické mechaniky bodové částice nemůže hybnost a souřadnice tvořit ÚSP. Ukazuje se ale, že v mechanice kvantové stačí, když je ÚSP tvořen jen hybností nebo jen souřadnicí.

Příprava stavu a princip superpozice

V kvantové teorii hraje důležitou roli otázka přípravy stavu. Zatímco klasická fyzika tento problém neřeší (připravit systém do nějakého výchozího stavu se považuje za problém ryze technický), ve fyzice kvantové narážíme na koncepční problém: abychom vůbec věděli, v jakém je systém stavu, musíme provádět měření, při nichž se ovšem systém nechová deterministicky. Proto příprava stavu úzce souvisí s procedurou měření. Po provedení měření (jehož výsledek je náhodný) víme, že systém zkolaboval do stavu s ostrou hodnotou, kterou jsme naměřili a můžeme říct, že jsme připravili systém v onom konkrétním stavu. Pokud tedy měříme například polohu částice (např. tak, že na ni svítíme a pozorujeme odražené fotony) a naměříme nějakou hodnotu x, pak můžeme tvrdit, že jsme připravili částici v tomto bodě. (Povšimněme si, že prakticky nevíme, v jakém stavu byl systém před prvním měřením.) Nevýhodou tohoto postupu je pochopitelně neschopnost určit onen bod předem. Proto má smysl trochu modifikovaná procedura - měřit, zda se částice nachází v určitém bodě. Tím získáme ano/ne experiment, přičemž v případě kladného výsledku měření máme systém ve stavu, o který jsme usilovali. To můžeme provést třeba tak, že svítíme jen do tohoto jednoho bodu. (Technické aspekty měření můžeme ignorovat, říkejme, že jsme do daného bodu umístili detektor částic. Ignorujme také konečné rozměry a tudíž nenulovou systematickou chybu měření detektoru.)

Co se stane, když umístíme dva detektory do dvou různých bodů x a y? Pokud budeme detekovat signál zvlášť z každého z detektorů, nebude se situace podstatně lišit od předchozího případu - v případě kladného výsledku měření získáme částici umístěnou buď v x nebo v y. Co když ale budeme detekovat jen jeden signál, ignorujíce z jakého detektoru vyšel? Naivně by se dalo čekat, že stav bude buď částice v bodě x, nebo částice v y, pouze nebudeme vědět, která možnost platí. Ve skutečnosti bude ale vlnová funkce výsledného stavu lineární kombinací vlnových funkcí stavů soustředěných v x a y, přičemž koeficienty v této lineární kombinaci budou záviset na stavu systému před měřením. Toto je podivuhodná vlastnost kvantové teorie (všimněte si, že stav systému závisí na tom, jaké informace experimentátor extrahuje z měřicí aparatury) a sčítání vlnových funkcí se nazývá principem superpozice.

Dvojí druh časového vývoje

Na místě klasické pohybové rovnice (což je obvykle diferenciální rovnice druhého řádu v čase) stojí Schrödingerova rovnice řídící časový vývoj vlnové funkce. Tato rovnice popisuje vývoj systému za předpokladu, že není prováděno žádné měření, tedy je-li systém dostatečně izolovaný od svého okolí. Vlnová funkce se řízením Schrödingerovy rovnice v čase vyvíjí spojitě. Tzn. existují dva druhy časového vývoje v kvantové teorii: Hladký vývoj daný Schrödingerovou rovnicí jsoucí obdobou vývoje klasického systému, a na druhé straně ryze kvantový kolaps při měření.

Matematický aparát

(Poznámka k symbolice: V tomto článku jsou vektory označovány malými latinskými písmeny, operátory jsou pak označovány velkými písmeny se stříškou. Taková notace je jistým kompromisem mezi notací užívanou matematickými fyziky a matematiky - kde chybí i stříška u operátorů - a fyzikální Diracovou (braketovou) notací. Diracova notace je přehlednější, ovšem je typograficky náročnější a pro konsistentní zavedení je třeba zavádět duální prostory, což je nad rámec tohoto článku.)

Pro detailnější porozumění kvantové teorii je vhodné uvažovat obecnější a abstraktnější aparát založený na lineární algebře. Systému je v něm přiřazen Hilbertův prostor, tj. vektorový prostor se skalárním součinem. Každý vektor představuje možný stav systému a odpovídající vlnovou funkci, obvykle se přitom vlnová funkce sama používá k reprezentaci abstraktního vektoru. Výhodou abstraktního popisu je výrazné zjednodušení vzorců, kde místo nepřehledných integrálních formulí vystupuje skalární součin stavových vektorů.

Zatím jsme pouze řekli, jaká je amplituda pravděpodobnosti naměření určité hodnoty pozorovatelné X, která hraje roli argumentu vlnové funkce. Ovšem výběr pozorovatelné, kterou použijeme k tomuto účelu, je víceméně libovolný. Jaká je ale pravděpodobnost naměření hodnoty y pozorovatelné Y ve stavu s vlnovou funkcí ψ? Kvantová teorie tuto amplitudu pravděpodobnosti definuje jako skalární součin ψ s vektorem odpovídajícím stavu s ostrou hodnotou y, a = (ψ,v_y).

Disponujeme-li systémem ve více kopiích a jsme-li teoreticky schopni všechny kopie uvést do stejného stavu ψ, můžeme se ptát, jaká bude střední hodnota pozorovatelné X ve stavu ψ, tj. aritmetický průměr výsledků měření na jednotlivých kopiích systému. Přirozeně, je dána váženým aritmetickým průměrem přes všechny možné naměřené hodnoty. Jednotlivé váhy jsou pak určeny pravděpodobností naměření příslušné hodnoty. Tudíž

Operátory

Každé pozorovatelné veličině Y je přiřazen hermitovský operátor . Vlastní vektory v_i tohoto operátoru reprezentují stavy s ostrou hodnotou pozorovatelné X, tato hodnota x_i je pak rovna příslušnému vlastnímu číslu. Taková reprezentace pozorovatelných má nezanedbatelné výhody. Například díky ortogonalitě vlastních vektorů samosdruženého operátoru můžeme operátor rozložit podle následujícího přepisu:

Odtud je snadno vidět, že vzorec pro střední hodnotu se zjednoduší na .

Operátory odpovídající kompatibilním veličinám navzájem komutují, naopak nekomutující operátory reprezentují nekompatibilní (komplementární) pozorovatelné veličiny. Operátory také hrají zásadní roli při procesu kvantování (viz níže).

Kvantování

Zavedení operátorů je klíčové pro proceduru zvanou kvantování. Kvantováním se nazývá postup vedoucí k „odvození“ kvantových pohybových rovnic ze znalosti příslušného klasického systému. Standardně se postupuje v několika krocích.

Je vhodné si uvědomit, že kvantování není exaktní procedura, ale spíš umění najít ke klasickému systému jeho protějšek. Existuje také dost systémů nemajících klasickou analogii, nejjednodušším příkladem je spin elektronu. Problém kvantování je zásadní v teorii pole, kde není možno ve většině případů interagujících polí matematicky rigorózně systém definovat a řešit (tj. určit Hilbertův prostor a definiční obory operátorů a exaktně stanovit platnost použitých metod řešení).

Alternativní formulace

Kromě standardního postupu užívajícího Hilbertova prostoru a operátorů je, zvláště v teorii pole, populární postup využívající dráhového integrálu, zavedený R.P.Feynmanem. Opírá se o výpočty integrálů přes množinu všech myslitelných trajektorií ve fázovém nebo konfiguračním prostoru, přičemž jsou tyto trajektorie váženy exponenciálou záporně vzaté hodnoty funkcionálu akce. Tento postup umožňuje (teoreticky) předpovídat výsledky měření na kvantovém systému užívaje klasického hamiltoniánu. Vede k relativně jednoduchému zavedení veličin, s nimiž operuje kvantová teorie pole, a k přehlednému odvození poruchových metod. Sám Feynman tvrdil, že k zavedení této formulace ho vedla snaha pochopit vztah klasického a kvantového systému, jenž se zdá ve formalismu dráhového integrálu zřetelnější (k hodnotě integrálu přispívají nejvíce trajektorie pohybující se okolo minima akce - tj. klasické trajektorie).

Důvodem, proč není tato formulace užívána dominantně, je jednak prakticky snazší počítání s operátory, a potom především matematická obtížnost pojmu dráhového integrálu. Dráhový integrál nelze definovat přímo dle teorie míry a integrálu (viz též Wienerova míra). Používá se tedy přiblížení pomocí limitní diskretizace, přičemž ožívají nejednoznačnost řazení operátorů v součinech a další problémy (limita přísně vzato neexistuje). Přesto paradoxně tato formulace vede k plodným výsledkům v částicové fyzice.

Interpretace

Existence kolapsu vlnové funkce vedla již v počátcích kvantové teorie k jejímu odmítání či minimálně kritickému postoji ze strany význačných vědců (jmenujme za všechny E.Schrödingera a A.Einsteina - paradoxně dva z těch, co se o vznik kvantové teorie zasloužili zásadní měrou), a to z několika různých příčin:

Problém definice měření

Kolaps nastává podle kvantové teorie v okamžiku měření. Učebnice kvantové teorie obvykle nejdou příliš dál ve výkladu o bližším určení tohoto okamžiku. Standardně se uvažuje mikroskopický systém, na němž provádíme měření pomocí makroskopické aparatury. V praktickém případě nedělá takové rozlišení žádné potíže - systém je obvykle tvořen jednotlivými atomy, zatímco aparatura může dosahovat rozměrů továrny (nejextrémnějším příkladem jsou obří urychlovače sloužící často pro výzkum vnitřní struktury protonů). Teoreticky ale můžeme libovolně velkou aparaturu zahrnout do zkoumaného systému a v tomto pohledu se kolaps odsouvá až do okamžiku, kdy výzkumník začne pozorovat aparaturu. Můžeme ale do systému zahrnout i mozek výzkumníka atd. Tudíž už samo určení okamžiku kolapsu je nejasné. Viz též příklad Schrödingerovy kočky. V podstatě existují dvě zásadní cesty, jak věc řešit:

Původně ještě existovala možnost, že kolaps je pouze zdání vznikající díky naší neschopnosti zjistit všechny informace o systému, vedoucí k teorii skrytých parametrů. Tato možnost je dnes experimentálně vyloučena (viz níže).

Problém se speciální relativitou

V roce 1935 Einstein, B. Podolsky a N. Rosen publikovali myšlenkový experiment, kterým hodlali zpochybnit úplnost kvantové teorie (EPR paradox). V principu poukazovali na existenci stavů, u kterých měření na jednom místě vede k okamžitému ovlivnění možných výsledků měření v místě vzdáleném a tak k popření principů speciální relativity. Vzhledem k tomu, že experimentátor nemůže „zařídit“, jaký má být výsledek jeho měření (tj. kam má systém zkolabovat), nelze tohoto jevu využívat k šíření informace nadsvětelnou rychlostí. Proto je tento myšlenkový pokus spíše argumentem filozofickým, opírajícím se o přesvědčení, že vlnová funkce je reálný objekt. Autory byl zamýšlen jako podpora teorií se skrytými parametry. Ty tvrdí, že kvantový systém je, podobně jako klasický, určen jednoznačně hodnotami sady parametrů, z nichž ovšem jen některé jsou pozorovatelné. Zbylé skryté parametry, které nejsme schopni zjistit, jsou příčinou neklasického chování kvantových systémů. Podle těchto teorií je výsledek měření systému určen předem a výběr stavu, kam systém zkolabuje, je určen právě skrytými parametry.

V době publikování EPR článku se nevědělo, jak zjistit, zda skryté parametry existují. Překvapivě jednoduchý test navrhl John Bell v šedesátých letech. Pomocí Bellových nerovností byla nakonec existence skrytých parametrů experimentálně vyvrácena.

Nakonec je třeba poznamenat, že často zmiňovaná neslučitelnost obecné relativity a kvantové teorie není důsledkem zmíněného paradoxu s kolapsem. Potíže při slučování obecné relativity a kvantové teorie jsou více technického rázu a týkají se nerenormalizovatelnosti Einsteinovy teorie gravitačního pole. V současné době se jisté naděje na řešení tohoto problému vkládají do přechodu k teorii strun (který se základního postulátu kvantové teorie o kolapsu vlnové funkce netýká).

Praktické uplatnění

Kvantová teorie hraje nezastupitelnou roli ve fyzice elementárních částic a fyzice pevných látek, atomové a molekulové fyzice a jejich prostřednictvím i v astrofyzice, fyzikální chemii a dalších oborech včetně medicíny. Bez kvantové teorie by pravděpodobně nebyly zkonstruovány polovodiče^[zdroj?], neexistovala by jaderná energetika, některé moderní materiály jako uhlíková vlákna, lasery, apod. Pravděpodobně by také byly na mnohem nižší úrovni mnohé diagnostické a léčebné metody využívající radiofarmak a zářičů.

Kvantová teorie zásadním způsobem ovlivnila smýšlení lidí o světě. Pravděpodobnostní charakter jejích předpovědí zasadil silnou ránu mechanistickému determinismu, silnému ve filozofii osmnáctého a devatenáctého století.